Olá Raquel
O cabeleireiro pode sim abrir uma MEI em sua residência, desde que a atividade não cause incômodos aos vizinhos e a prefeitura local autorize o uso residencial com atividade comercial. Recomendo consultar o setor de Fiscalização ou Posturas da Prefeitura para confirmar se o endereço residencial pode receber clientes. Em alguns municípios, é necessário solicitar um alvará de funcionamento domiciliar.
Se a cabeleireira atender uma cliente pessoa física, não precisa emitir nota. Mas se fizer um serviço para uma empresa (ex: contrato com salão parceiro, escola ou clínica), deve emitir Nota Fiscal de Serviços (NFS-e).
Espero ter ajudado.