Olá Thamires, tudo bem?
Atualmente, a empresa não tem como consultar pelo eSocial, FGTS ou outro sistema se o funcionário tem outro emprego registrado. Cada empresa só enxerga os dados que ela mesma envia. Também não há aviso automático caso o funcionário seja registrado em outra empresa. Essas informações completas só aparecem para o próprio trabalhador, no Meu INSS ou na Carteira de Trabalho Digital.
Espero ter ajudado.