Olá, Luis! Tudo bem?
Você não precisa obrigatoriamente solicitar o registro da marca no INPI, a menos que sua cliente queira proteger legalmente o nome que escolheu. O registro de marca garante exclusividade e evita que outra empresa use o mesmo nome no mesmo segmento.
O que acontece é o seguinte: se sua cliente escolher um nome que já pertence a outra empresa registrada, essa empresa pode exigir que ela pare de usá-lo. Além disso, se alguém registrar a marca antes dela, poderá ter o direito de exclusividade sobre o nome e até impedir que ela continue usando.
Antes, na abertura do MEI, existia um campo para preencher o nome fantasia, mas a Receita Federal removeu essa opção para agilizar o processo. No entanto, sua cliente pode divulgar e usar o nome que deseja, mesmo sem registro, mas com o risco de ter que alterá-lo caso outra pessoa o registre primeiro. Mas ela pode sim colocar um nome fantasia.
Sobre valores, o custo do registro no INPI varia, e os preços cobrados pelos profissionais para fazer esse serviço também. Vale pesquisar quanto o mercado está cobrando para oferecer essa opção à sua cliente. Não teria um valor hoje para te sugerir.
Espero ter ajudado!