Mesmo sem registro em carteira, se ele trabalha desde 20/06/2022 com habitualidade, recebendo pagamento e obedecendo ordens, já existe vínculo empregatício. A assinatura da carteira apenas formaliza algo que já existe na prática.O correto seria a empresa fazer a anotação retroativa na CTPS desde o início do contrato, com recolhimento de FGTS e INSS, além do pagamento de férias e 13º correspondentes a cada período.Caso o empregador não queira registrar retroativo, até pode haver um “acerto” financeiro referente a férias, 13º e FGTS desse período levando em consideração o salário atual dele, porém isso não substitui a obrigação legal de registro. Mesmo recebendo esses valores, o trabalhador ainda poderia futuramente reclamar o reconhecimento do vínculo na Justiça do Trabalho.
Espero ter ajudado.