Olá Júlio, tudo bem?
Não, o empregador não precisa da senha Gov do empregado para realizar o registro.
O vínculo é feito normalmente pelo eSocial, utilizando apenas os dados cadastrais do trabalhador (CPF, data de nascimento, endereço, etc.).
A senha do Gov é pessoal e intransferível, e dá acesso a diversos serviços do cidadão, inclusive informações sensíveis.
Por isso, não é recomendado compartilhar essa senha com o empregador ou qualquer outra pessoa.
Espero ter ajudado.