Olá Eduardo, tudo bem?
Não vejo nenhum problema na emissão agora. Porém, ela pode colocar na discrição dos serviços que o serviço se refere ao mês 03/2024, por exemplo.
Obs.: Em contra partida contabilmente, a empresa que pagou por esse serviço, irá contabilizar que foi feito um adiantamento de fornecedor (uma vez que eles pagaram desde abril) e posteriormente quando sua cliente entregar a eles a nota emitida eles fazem um lançamento transferindo de adiantamento pra pagamento de fornecedor.
E sobre a dúvida 2, sim. A sua cliente assim que finalizar o serviço pode emitir a nota.
Ou ela pode deixar pra emitir a nota no dia que receber da empresa.
Acredito que neste caso, é necessário que se tenha uma comunicação clara entre sua cliente e a empresa sobre como será a tratativa melhor para ambos.
Espero ter ajudado!