Olá Dandara, tudo bem?
Quando o Estado é obrigado por decisão judicial a prestar um serviço, mas delega a execução para uma empresa, entendo que a nota fiscal deve ser emitida no nome do Estado, porque ele continua sendo o cliente oficial.
Sobre o processo, geralmente é uma tutela (decisão judicial provisória) que determina a prestação do serviço. A contratação da empresa costuma ser feita sem licitação, por ser uma situação emergencial determinada pela Justiça.
Ou seja: nota fiscal no nome do Estado, e o caso envolve tutela judicial e contratação direta não uma licitação comum.
Espero ter ajudado!